რატომ გონებაში, როცა შეიძლება კალკულატორზე ან ქვეშმიწერით?

ანგარიშის მინიმალური უნარები, რიცხვის შეგრძნება – ეს არის ზოგადსაკაცობრიო კულტურის ისეთივე ელემენტი, როგორც მართლწერა და მეტყველება, უცხო ენის ფლობა, ზოგადი წარმოდგენა ხელოვნებასა და სამყაროს შესახებ.

გარდა ამისა, როდესაც თქვენ მარტივად აწარმოებთ გამოთვლას დამხმარე საშუალებების გარეშე, თქვენ გრძნობთ რეალობის მართვის სრულიად სხვა დონეს – თქვენ წინასწარ იცით, რამდენ ხურდას დაგიბრუნებენ მაღაზიაში, ან ღირს თუ არა რვა კაცის შესვლა 400 კგ ტვირთამწეობის მქონე ლიფტში.

დაფიქრდით იმაზე, რომ კალკულატორი და ქვეშმიწერით გამოთვლა – ეს არის მაგიის ერთგვარი ნაირსახეობა. სავარაუდოდ, თქვენ არ იცით, როგორ მუშაობს ის და იძულებული ხართ, უბრალოდ მას მიენდოთ. როდესაც თქვენ კარგად გესმით, როგორ ხორციელდება მათემატიკური ოპერაციები და შეგიძლიათ მათი „ხელით“ გამეორება, თქვენი კონტროლის (და თავდაჯერებულობის) შეგრძნება იღებს სერიოზულ ბონუსს.

დაბოლოს, ზეპირი გამოთვლა ავითარებს თქვენს მენტალურ უნარებს: ყურადღებას, მეხსიერებას, კონცენტრაცის, აზროვნების რამდენიმე არხს შორის გადართვას, აგრეთვე შეიძლება წარმოადგენდეს მედიტაციის და სევდიანი ფიქრებისგან გადართვის საშუალებას.

სად ვიპოვოთ სავარჯიშოები? მოვიფიქროთ მაგალითები?

რა თქმა უნდა, არა. ქსელში ბევრი მობილური აპლიკაციაა, რომელიც შემოგთავაზებთ მათემატიკური უნარების სავარჯიშოებს ნებისმიერი გემოვნებისთვის.

არჩევისას გაითვალისწინეთ, რომ კარგ აპლიკაციას უნდა გააჩნდეს სირთულის მოქნილი პარამეტრები და შეეძლოს თქვენს მიერ შესრულებული დავალებების სტატისტიკის წარმოება.

სცადეთ   iOS და Android  აპლიკაციების გამოყენება, ან მოძებნეთ ალტერნატიული ვარიანტები App Store-სა და Google Play-ში.

შედეგი როდის დადგება?

არსებობს სულ 4 მათემატიკური მოქმედება – მიმატება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა. ყველა მოქმედებას გააჩნია საკუთარი თავისებურება, მაგრამ ისინი არაა რთული. თუ ერთხელ გაერკვევით და მერე ყოველდღიურად ივარჯიშებთ 5-10 წუთის განმავლობაში, ძალიან სწრაფად იგრძნობთ, რომ უკეთ ითვლით. სავარაუდოდ, 2-3 თვეში თქვენ მიაღწევთ საკმაოდ მაღალ დონეს, რომლის შენარჩუნებას შეძლებთ პერიოდული ვარჯიშით.

და რით დავიწყოთ?

დაიწყეთ უმარტივესი დონით – ერთნიშნა რიცხვების მიმატებით და მიაღწიეთ მასში სრულყოფას: სწორი პასუხების 99%, ყოველ პასუხზე 1-2 წამი. „ათეულის გადალახვის“ მაგალითების ამოხსნისთვის სცადეთ შემდეგი ტექნიკის გამოყენება – „ათეულზე დაყრდნობა“.

ვთქვათ, თქვენ უნდა შეკრიბოთ 8 და 7.

ჰკითხეთ თქვენს თავს, რამდენი აკლია 8-ს 10-მდე (2). წარმოიდგინეთ 7, როგორც 2-ის და სხვა რაღაც ნაწილის (5) ჯამი. მიუმატეთ 8-ს 7-ის ის ნაწილი, რომელიც მას აკლია 10-მდე, შემდეგ კი, მეორე ნაწილი – ანუ თქვენ შეკრებთ 10-ს და 5-ს და, რა თქმა უნდა, მიიღებთ 15-ს. როგორ შევკრიბოთ მრავალნიშნა რიცხვები?

აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი პრინციპია – მსგავსი თანრიგის შეკრება. ორივე რიცხვის სათანრიგო ნაწილებად დაშლის შემდეგ, დაიწყეთ შეკრება უდიდესი თანრიგებიდან – ათასები ათასებთან, ასეულები ასეულებთან, ათეულები ათეულებთან, ერთეულები ერთეულებთან. ის, რასაც მიიღებთ, საჭიროებისამებრ გაამსხვილეთ და შემდეგ ისევ შეკრიბეთ.

მაგალითად, როგორ შევკრიბოთ 456 და 789?

1) 456 შედგება 3 სათანრიგო ნაწილისგან – 400, 50 და 6.

789-საც ასევე ვშლით 3 ნაწილად – ესაა 700, 80 და 9.

2) ვაჯამებთ ასეულებს ასეულებთან: 400+700 = 1 100, ათეულებს ათეულებთან: 50+80     = 130, ერთეულებს ერთეულებთან: 6+9 = 15.

3) ვამსხვილებთ, მოსახერხებელ ნაწილებად დაშლით, ისევ ვაჯგუფებთ და ვაჯამებთ ერთანირ თანრიგებს:1 100+130+15 – ესაა 1 100+100+30+10+5, ანუ, 1 200+40+5 = 1 245.

და გამოკლება?

აქაც უნდა დავიწყოთ საბაზო დონიდან – პირველი და მეორე ათეულის რიცხვებზე ერთნიშნა რიცხვის გამოკლებით – და ეს უნარი სრულყოფამდე მივიყვანოთ. ისევე, როგორც შეკრების შემთხვევაში, პრობლემები ჩნდება ათეულის გადალახვის დროს. აქაც მოსახერხებელია „ათზე დაყრდნობის“ ხერხი.

წარმოვიდგინოთ, რომ უნდა გამოვაკლოთ 12-ს  8.

ვკითხოთ თავს, რამდენი უნდა გამოვაკლოთ 12-ს, რომ მივიღოთ 10 (ესაა 2).
12-ს 8 გამოვაკლოთ ნაწილებად – ჯერ 2, შემდეგ კი დანარჩენი, ანუ 6.
12-დან 2-ის გამოკლებით მივიღეთ 10, რომელსაც უნდა გამოვაკლოთ 6. მივიღებთ 4-ს. მზადაა!
მრავალნიშნა რიცხვებში რამდენად რთულია?

არც თუ ისე რთულია. მნიშვნელოვანია მხოლოდ, არ ავურიოთ ერთმანეთში გამოკლების და შეკრების ტექნიკები. შეკრებისას ჩვენთვის მოსახერხებელი იყო ყველა რიცხვის სათანრიგო ნაწილებად დაშლა, ახლა კი, ჩვენ მხოლოდ იმას ვშლით, რომელსაც ვაკლებთ.

მაშ ასე, წარმოვიდგინოთ, რომ უნდა გამოვაკლოთ 512-ს  259.

რიცხვი 259, რომელსაც ვაკლებთ, შედგება 3 სათანრიგო ნაწილისგან – 200, 50 და 9. მათ რიგრიგობით გამოვაკლებთ.
512-200 – ასეულების გამოკლება არანაირად არ ეხება 512-ის ათეულებს და ერთეულებს, ის გავლენას ახდენს მხოლოს ასეულებზე და მივიღებთ – 312-ს.
იმას, რაც მივიღეთ ასეულების გამოკლების შემდეგ, ახლა ვაკლებთ ათეულებს, 312-50.
ეს ჰგავს „ათეულის გადალახვით“ გამოკლებას. გამოვაკლოთ 312-ს ჯერ 10, მთელ ასეულებამდე (ერთეულებს არ შევეხებით), მივიღებთ 302-ს. შემდეგ გამოვაკლებთ დანარჩენს (სულ უნდა გამოგვეკლო 50, 10 უკვე გამოვაკელით, დარჩა 40), მივიღებთ 262-ს.

დარჩა გამოსაკლები მხოლოდ ერთეულები: 262-9.
ესეც „ათეულების გადალახვით გამოკლებაა – ჯერ ვაკლებთ 2-ს, მივიღებთ 260-ს, შემდეგ კი, დანარჩენ ნაწილს, ანუ 7-ს, მივიღებთ 260−7 = 253. აი, პასუხიც.

როგორ არის “მოწყობილი” გამრავლება?

დავიწყოთ ერთნიშნა რიცხვების გამრავლებით. დასაწყისისთვის უნდა გავიხსენოთ, რომ გამრავლება – ეს არის ერთი რიცხვის რადენჯერმე შეკრება. მაგალითად, 7-ის 4-ზე გამრავლება – ეს ნიშანავს ოთხი შვიდიანის შეკრებას. შეკრების ტექნიკის გამოყენებით ჩვენ შეგვიძლია ადვილად დავითვალოთ – ორი შვიდიანი, 7 და 7, იქნება 14, მივუმატებთ მესამეს, იქნება 21, და ბოლო, მეოთხე შვიდიანის მიმატებით მივიღებთ 28-ს.

თანდათან, ვარჯიშის შედეგად, დაიმახსოვრებთ თქვენთვის მოსახერხებელ საყრდენ მნიშვნელობებს და მათი საშუალებით განახორციელებთ მეზობელ გამოთვლებს. მაგალითად, თუ საჭიროა 6-ის 7-ზე გამრავლება (ანუ ექვსი შვიდიანის შეკრება), და გახსოვთ, რომ 5-ჯერ 7 არის 35, მაშინ საბოლოო შედეგის მისაღებად საჭიროა მხოლოდ მეექვსე შვიდიანის მიმატება და მიიღებთ 42-ს.

გამრავლების ტაბულაში ყველაზე რთულ მაგალითად ითვლება 7∙8. მისი დამახსოვრებისთვის არსებობს კარგი მნემოტექნიკური წესი: „ხუთი ექვსი შვიდი რვა“ – 56 = 7∙8.

როგორ გავამრავლოთ მრავალნიშნა რიცხვი ერთნიშნაზე?

განვიხილოთ მაგალითზე. დავუშვათ, უნდა გავამრავლოთ 468  6-ზე.

468 შედგება 400, 60 და 8-სგან, და ეს ყველფერი უნდა გავამრავლოთ 6-ზე. ცალ-ცალკე ეს არ არის ერთნიშნა რიცხვების გამრავლებაზე რთული.
ვიწყებთ უდიდესი თანრიგით – 400∙6 = 2 400 (ვინაიდან 400 100-ჯერ მეტია 4-ზე, შესაბამისად, 400∙6-ის შედეგი იქნება 100-ჯერ დიდი, ვიდრე 4∙6-ის შედეგი).
შესაბამისად, 60∙6 =360, ხოლო 8∙6 = 48.

ახლა კი, როგორც მიმატების დროს, შევკრიბოთ ეს ყველფერი ერთად, მსგავსი თანრიგების დაჯგუფებით:
(2 000+400)+(300+60)+(40+8) = [გადავაჯგუფოთ] =

= 2 000+(400+300)+(60+40)+8 = [შევკრიბოთ ერთნაირი თანრიგები] =

= 2 000+700+100+8 = [დავაჯგუფოთ და შევკრიბოთ ერთნაირი თანრიგები] =

= 2 000+800+8 = [შემდეგ გამსხვილებას აზრი არ აქვს, ამიტომ ვიღებთ პასუხს] = 2 808.

როგორ გავამრავლოთ ორნიშნა რიცხვები?

უბრალო ადამიანისთვის ეს უკვე უმაღლესი პილოტაჟია! თუ აითვისეთ ორნიშნა რიცხვების გამრავლება, ჩათვალეთ, რომ მიღებული ხართ ზეპირი გამოთვლის ელიტის სამყაროში. მაგრამ სინამდვილეში აქ არ არის არაფერი პრინციპულად რთული, უბრალოდ, მეტია დატვირთვა ხანმოკლე მეხსიერებაზე (ამავდროულად, ჩვენ მას ვავარჯიშებთ).

მაგალითად, გავამრავლოთ 78  56-ზე. ეს ნიშნავს, რომ უნდა შევკრიბოთ 78 უნდა შევკრიბოთ („ავიღოთ“) 56-ჯერ.

56-ჯერი შეიძლება დავშალოთ ეტაპებად – თავიდან შევკრიბოთ 78  50-ჯერ, შემდეგ 6-ჯერ, ბოლოს კი, გავაერთიანოთ პასუხები.
78-ის 50-ჯერ მიმატება არ არის რთული, ეს 10-ჯერ მეტია, ვიდრე მისი შეკრება 5-ჯერ. 78∙5 = 70∙5+8∙5 = 350+40 = 390. შედეგად, 78∙50 = 3 900, დავიმახსოვროთ ეს რიცხვი.
ახლა გამოვთვალოთ, 78∙6 = 70∙6+8∙6 = 420+48 = 468.
დაბოლოს, შევკრიბოთ ორივე პასუხი – 3 900+468 = 3 000+900+400+60+8 = 3 000+1 300+60+8 = 4 368. მზადაა!
ნუთუ მხოლოდ ბოლო მოქმედება – გაყოფა – დარჩა?

დიახ, ფინიშის ხაზს ვუახლოვდებით. და ისევ დავიწყოთ ყველაზე მარტივი დონიდან: იმ რიცხვების ერთნიშნა რიცხვებზე გაყოფით, რომლებსაც ვიცნობთ ერთნიშნა რიცხვების გამრავლებიდან.

მაშ ასე, რა არის გაყოფა? თავისი არსით, ეს არის გამრავლების უკუოპერაცია.

მაგალითად, 56-ის 7-ზე გაყოფა ნიშნავს ისეთი რიცხვის შერჩევას, რომლის 7-ზე გამრავლებით ვიღებთ 56-ს. ვინაიდან ამ მომენტისთვის უკვე კარგად ერკვევით გამრავლების ტაბულაში, ალბათ გაიხსენებთ, რომ 8-ის 7-ზე გამრავლებით ვიღებთ 56 ს. შესაბამისად, საძიებელი რიცხვია 8, 56:7 = 8.

და ასე ყოველთვის – გაიხსენეთ, რომელი რიცხვის გამრავლებით ვიღებთ საჭირო შედეგს – ეს არის ზუსტად ის რიცხვი, რომელიც გჭირდებათ.

როგორ გავყოთ მრავალნიშნა რიცხვი ერთნიშნაზე?

მოდით, გავყოთ 6144  8-ზე. ჩვენი ხერხია – „მოვაჭრათ“ საწყის რიცხვს მაქსიმალურად „მრგვალი“ ნაწილები, რომელთაგან ყველა გარანტირებულად გაიყოფა 8-ზე გამრავლების ტაბულის მიხედვით.

გამოვყოთ 6 144-დან მაქსიმალურად დიდი ნაწილი, რომელიც იყოფა 8-ზე გამრავლების ტაბულის მიხედვით. ეს იქნება 5 600, რადგან 56 იყოფა 8-ზე, შემდეგი რიცხვი კი, რომელიც რვაზე იყოფა – უკვე 64-ია, რაც არ გამოგვადგება, რადგან 6 400 მეტია 6 144-ზე. მშვენიერია, 6 144 – ესაა 5 600 და 544 (აქ გამოგვადგება გამოკლების უნარი).
ამავდროულად, გავყოთ:

6 144:8 = [გამოვყოთ მაქსიმალურად მოსახერხებელი მრგვალი ნაწილი]=

= (5 600+544):8 = [გამოყოფილ ნაწილს ვყოფთ 8-ზე, მეორე ნაწილთან კი, ვმუშაობთ შემდეგ ეტაპზე] =

= 700+544:8.

700 დავიმახსოვროთ, როგორც ნაწილობრივი შედეგი და დავკავდეთ 544:8-ით.

ანალოგიურად, 544 ყველაზე დიდი ნაწილი, რომელიც იყოფა 8-ზე გამრავლების ტაბულის მიხედვით, ეს არის 480 (ვინაიდან 48 იყოფა 8-ზე, შემდეგი რიცხვი 56 კი, არ გამოგვადგება, რადგან 560 > 544). ამრიგად, 544 = 480+64.
ვაგრძელებთ გაყოფას:

544:8 = [გამოვყოფთ მაქსიმალურად მოსახერხებელ მრგვალ ნაწილს] =

= (480+64):8 = [გამოყოფილ ნაწილს ვყოფთ 8-ზე, მეორესთან ვმუშაობთ შემდეგ ეტაპზე] =

= 60+64:8.

60-ს ვუმატებთ 700-ს, 700+60 = 760 – ვიმახსოვრებთ, როგორც პასუხის მეორე ნაწილს და გადავდივართ ბოლო გაყოფაზე, 64:8.

3) დარჩენილი ნაწილი, 64, ასევე იყოფა 8-ზე გამრავლების ტაბულის მიხედვით, 64:8 = 8.

შესაბამისად, საბოლოო პასუხია – 760+8=768. მორჩა!

როგორ გავყოთ ორნიშნა რიცხვზე?

ორნიშნა რიცხვზე გაყოფის ტექნიკა ყველაზე მრავალფეროვანია, ის არაფერს ჰგავს, გამორჩეულია. გავეცნოთ მას მაგალითზე – 5148:66.

გამოვიცნოთ, რომელ ათეულში იქნება ჩვენი პასუხი. შეგახსენებთ, რომ 5 148:66 ნიშნავს: ვეძებთ რიცხვს, რომელიც 66-ზე გამრავლებით მოგვცემს 5 148. გამოვიყენოთ „მისადაგების“ ტექნიკა.
ვცადოთ 20, როგორც სავარაუდო კანდიდატი. 20∙66 = 1 320, ეს დაახლოებით 4-ჯერ ნაკლებია, ვიდრე 5 148, რომელიც გვჭირდება.

20-ზე 4-ჯერ მეტია 80, ვცადოთ. 80∙66 = 5 280, მივიღეთ მეტი, ვიდრე საჭირო 5 148, მაგრამ ბევრით არა, სავარაუდოდ, ეს არის უახლოესი, „ზედა“ ათეული.

სარწმუნოობისთვის ვცადოთ 70, 80-ის უახლოესი, „ქვედა“ ათეული. 70∙66 = 4 620, ეს ნაკლებია 5 148-ზე, მშვენიერია! ე. ი. საძიებელი რიცხვი მოქცეულია 70-სა და 80-ს შორის.

გამოვიყენოთ მატემატიკური კანონი ორი რიცხვის ნამრავლის ბოლო ციფრზე.
თურმე, ის ყოველთვის შეესაბამება გასამრავლებელი რიცხვების ბოლო ციფრების ნამრავლის ბოლო ციფრს (დაფიქრდით, რატომ ხდება ასე). მაგალითად, რომელ ციფრზე დაბოლოვდება 1 234∙5 678? იმავეზე, რაზეც 4∙8, ანუ 2-ზე (4∙8 = 32).

ამიტომ, თუ ვეძებთ რიცხვს, რომელიც 66-ზე გამრავლებისას მოგვცემს

5 148-ს, 8-ის უზრუნველსაყოფად საძიებელი რიცხვი უნდა ბოლოვდებოდეს მხოლოდ ან 3-ზე, ან 8-ზე  (3∙6 = 18, 8∙6 = 48).

70-სა და 80-ს შორის ასეთი დაბოლოებით ორი კანდიდატია – 73 და 78.
5 148 აშკარად ახლოა 5 280-თან, ამიტომ, ჯერ შევამოწმოთ 78.

78∙66 = 78∙60+78∙6 = 4 680+468 = 5 000+148 = 5 148, ვაშა!

(პასუხი სწორი თუ არ იქნებოდა, მაშინ მეორე რიცხვს შევამოწმებდით და საჭირო შედეგს ნამდვილად მივიღებდით).

როგორია საბოლოო რეკომენდაციები?

აი, ეს არის ყველა მეთოდი, რომელის ცოდნაც საკმარისია დამაჯერებელი ანგარიშისთვის 10 000-ის ფარგლებში (უფრო დიდ რიცხვებთან მუშაობის უნარი კი, ნამდვილად სცილდება საჭირო ზოგადი განვითარების ფარგლებს).

სავარაუდოდ, გადააწყდებით სწრაფი გამოთვლის სხვა ხერხებსაც, მაგრამ ნუ იჩქარებთ მათ გამოყენებას. გარდა ამისა, გახსოვდეთ, რომ სისტემატური ვარჯიში ინტენსიურზე მნიშვნელოვანია – ეცადეთ, ივარჯიშოთ ტრენაჟორზე ყოველდღე 5-10 წუთის განმავლობაში, მეტი არ არის საჭირო, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში, დიდია რისკი, რომ „გადაიწვებით“ და მას მიატოვებთ.

ვარჯიშის პროცესში ნუ იჩქარებთ – „დაიჭირეთ“ თქვენი რიტმი, გააკეთეთ აქცენტი პასუხების სისწორეზე და არა – სიჩქარეზე, სიჩქარე მერე „მოვა“.

აუცილებლად ეცადეთ, გაახმოვანოთ თქვენი ქმედებები, განსაკუთრებით პირველ ხანებში – იგრძნობთ, რამდენად ჰგავს ეს ყველაფერი ლექსს, და ამოხსნაც გაადვილდება.

არ ინერვიულოთ და გული არ დაგწყდეთ, რამე თუ არ გამოგივათ – გზას დაძლევს მიმავალი, და ადრე თუ გვიან ყველაფერი გამოგივათ.